Maxwell Denklemleri Nedir?

Elektromanyetik teorinin temelini Maxwell Denklemleri oluşturur. Maxwell, salınan bir elektrik alan mevcut olduğunda, elektrik alanına dik olarak salınan bir manyetik alanın üretileceğini önermiştir. Bu alanların her ikisi de uzayda bir dalga ile aynı yönde yayılır. Bu fikir, Maxwell Denklemleri'nin elektromanyetik teorinin temelini oluşturmasında etkili olmuştur.

Maxwell Denklemleri James Clerk Maxwell tarafından bulunmuştur. Elektrik ve manyetik alanların birbirileri, yükler ve akımlar tarafından nasıl değiştirildiği ve üretildiğini açıklayan Maxwell Denklemleri İskoç fizikçi ve matematikçi olan ve 1861-1862 yıllarında bu denklemlerin ilk biçimini yayımlayan James Clerk Maxwell' in ismi ile adlandırılmıştır.

James Clerk Maxwell, Faraday'ın 1856'da elektromanyetizma konusundaki ilk makalesini yayınlamıştır. 1861-1862 yılları arasında Maxwell, Fiziksel Kuvvet Çizgileri başlığı altında 4 makalelik bir seri yayınlamıştır. Bu makalelerinde elektromanyetik alanı modellemek için dönen girdap tüpleri gibi mekanik modeller kullanmıştır. Ayrıca, Faraday tarafından verilen manyetik kuvvet çizgilerinin stresini hesaba katmak için, boşluğu bir tür yalıtkan elastik ortam olarak modellemiştir. Bu çalışmalar, Maxwell Denklemleri’nin formülasyonunun temelini zaten atmıştır. Maxwell denklemlerinin son şekli 1865 yayımlanan elektromanyetik alanın dinamik teorisinin kesinlikle matematiksel biçimde formüle edildiğidir. 1873'te Maxwell, elektromanyetizma konusundaki çalışmalarının bir özeti olarak Elektrik ve Manyetizma Üzerine Bir İnceleme’yi yayınlamıştır. Özetle, Maxwell'in denklemleri, fizikteki en büyük birleşmelerden biri olan ışık ve elektromanyetizma teorilerini başarıyla birleştirmiştir. Maxwell denklemlerinin deneysel kanıtı, 1890'larda bir dizi deneyde Heinrich Hertz tarafından gösterilmiştir. Bu deneylerden sonra, Maxwell denklemleri bilim adamları tarafından tamamen kabul edilmiştir.

Maxwell Denklemleri, elektrik yüklerinin ve elektrik akımlarının nasıl elektrik ve manyetik alanlar oluşturduğunu açıklamaya yardım eder. Zamanla değişen bir elektrik alanın, zamanla değişen bir manyetik alanı nasıl ürettiği veya tam tersini de açıklamaktadır. Ayrıca elektrik alanı ve manyetik alanı hesaplamayı sağlar.

Maxwell Denklemleri, termodinamik denklemdir. Çünkü Maxwell ilişkileri, termodinamikte ikinci türevlerin simetrisinden ve termodinamik potansiyellerin tanımlarından türetilebilen bir denklemler dizisidir. Termodinamik potansiyel, akım geçmeyen bir elektrokimyasal hücrenin potansiyelini ifade eder.

Maxwell Denklemleri’ndeki birimler aşağıdaki gibidir:

E: Elektrik Alan

H: Manyetik Alan Kuvveti

D: Elektrik Yer Değiştirme Alanı

B: Manyetik Akı Yoğunluğu

ρ: Serbest Elektrik Yükü Yoğunluğu

J: Serbest Akım Yoğunluğu

M: Manyetik Akım Yoğunluğu

dA: Diferansiyel Yüzey Alanı Vektör Elemanı

dV: S Yüzeyi Tarafından Çevrelenen V Hacminin Diferansiyel Elemanı

dI: Ayırıcı Vektör Elemanı

ε₀: Boşluğun Dielektrik Sabiti

Φ: Elektrik akısı

Maxwell Denklemleri formülleri aşağıdaki gibidir:

• Gauss Yasası Denklem Formülü: Φ = q/ε₀
• Manyetizmada Gauss Yasası Denklem Formülü: Φ = ∮B.Ds
• Faraday Yasası Denklem Formülü: ε= -N (d Φ _B /dt)
• Ampere- Maxwell Denklem Formülü: ∮_S b. dl

Maxwell Denklemleri çeşitli şekillerde yazılabilir ve alanlar (e,h)ile akılar (b,d) arasındaki fiziksel ilişkileri karakterize edebilir. Özel formülasyonlar ve bağıntılar kullanılarak elde edilebilir. Maxwell denklemleri diferansiyel, integral ve kompleksformda yazılabilir.

Maxwell Denklemleri’nin en basit temsili, doğrudan dalgalara yol açan diferansiyel formdadır. Dx, dy, df gibi ifadelerin bulunduğu formlara diferansiyel form denir. Maxwell Denklemleri’nin diferansiyel formu aşağıdaki gibidir:

• Gauss Yasası Diferansiyel Formu: ∇.E=ρ/ε₀

• Manyetizmada Gauss Yasası Diferansiyel Formu: ∇xB= 0

• FaradayYasası Diferansiyel Formu: ∇xE= -∂B/∂t

• Ampere-Maxwell Diferansiyel Formu: ∇xB=m₀[J + (∂D/∂t)]

Maxwell Denklemleri’nin İntegral formunu elde etmek için Diverjans ve Stokes teoremleri kullanılabilir. (Stokes teoremi olarak adlandırılan bu teorem, A vektörünün teğetsel bileşeninin basit kapalı bir C eğrisi üzerinde alınan bölgenin, A’nın dönelinin normal bileşeninin C’yi sınır olarak kabul eden herhangi bir S yüzeyi üzerinde alınan yüzey integraline eşit olduğunu ifade eder. Diverjans teoremi ise bir vektör alanının diverjansının hacim integralinin vektörün bölgeyi sınırlayan toplamın dışa doğru akıya eşit olduğunu belirtir.) Sınırlı bir yüzeyin iç kısmında neler olduğunu öğrenmek integral form ile mümkündür. Maxwell Denklemleri’nin integral formu aşağıdaki gibidir: 

• Gauss Yasası İntegral Formu: ∮D. ds= Q 
• Manyetizmada Gauss Yasası İntegral Formu: ∮ B. ds= 0 
• Faraday Yasası İntegral Formu: ∮E . dl= -(d Φ   /dt) 
• Ampere-Maxwell İntegral Formu: ∮ H . dI= I+ ∫s (∂D/∂t) ds 

Maxwell Denklemleri’nin kompleks formu aşağıdaki gibidir:

• Gauss Yasası Kompleks Formu: ∇ . D= ρ_ev 

• Manyetizmada Gauss Yasası Kompleks Formu: ∇ . B= ρ_mv 

• Faraday Yasası Kompleks Formu: ∇ x E= -M (-∂B/∂t) 

• Ampere-Maxwell Yasası Kompleks Formu: ∇ x H= J+ (∂D/∂t) 

Burada ρ_ev, Elektrik Yük Yoğunluğunu ve ρ_mv ise Manyetik Yük Yoğunluğunu ifade eder.

Uzay-zaman değişken formülasyonları son yıllarda popüler hale gelmiştir. Uzay-zaman formülasyonları yüksek enerji ve gravitasyonel fiziğinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Formülasyonlar hesaplamaları kolaylaştırır. Uzay- zaman üzerinde tanımlanan bu formülasyonlar özel ve genel görelilikle açıkça uyumludur. Kuantum mekaniğinde, elektrik ve manyetik potansiyeller üzerine dayandırılan Maxwell Denklemleri, kullanımda tercih edilmektedir.

Maxwell Denklemleri, elektrik alanın nasıl oluştuğunu açıklamakla birlikte E (Elektrik Alan) ve B (manyetik alan) etkileşime girer. Ayrıca ışığın hızını da tahmin eder, çünkü ışık bir elektromanyetik dalgadır. Böylece buradaki nihai amaç bir dalga denklemi elde etmektir. James Clerk Maxwell, ortaya çıkardığı Maxwell Denklemleri’nden yola çıkarak boş uzayda elektrik ve manyetik özelliklere dair problemleri ortadan kaldırıp kütlesiz elektromanyetik radyasyon dalgalarının hızının, öne sürülen ışık hızına çok yakın olduğunu belirterek ışığın ışık hızında ilerlediğini keşfetmiştir.

Maxwell Denklemleri örnek çözümlü sorular aşağıdaki gibidir:

• Örnek 1: 3,6 birimlik bir manyetik akıya maruz kalan elektronları 5m/s hıza sahip bir sisteme uygulanan elektrik alanını bulun.

Çözüm 1: Elektrik alan yoğunluğu, hız ve manyetik akı yoğunluğunun ürünüdür.

E = v x B formülünden E= 5 x 3,6 = 18’dir.

• Örnek 2: Kenarları 0,5 m olan kübik bir Gauss yüzeyinin merkezinde 10 X 10-6 C'lik bir nokta yükü vardır. Yüzey için akı nedir?

Çözüm 2: Gauss yüzeyi için akının q/ε olduğunu biliyoruz.

q= 10^-6 ve ε= 8.85 x 10^-12 olmak üzere:

q/ε = 10^-6 / 8.85 x 10^–12 = 1.12 x 10⁵ Nm²/C elde edilir.

• Örnek 3: Elektrik ve manyetik bir sahada yüklü bir partikülün hızı 7.27 x 106 m/s ve elektrik alan 6 x 106 N/C ise manyetik alanın değeri kaç olmalıdır?

Çözüm 3: E= 6 x 106 ve v= 7.27 x 106 olmak üzere:

B= E/v formülünden manyetik alan 6 x 10⁶/ 7.27 x 10⁶ = 0.83 bulunur.

Maxwell Denklemleri birçok alanda olduğu gibi elektrik biliminde de önemlidir. Elektrik ve manyetik özelliklere dair problemleri ortadan kaldıran Maxwell Denklemleri, statik alanlar için Amper ve Gauss yasalarını değiştirmeden denklem sistemini statik olmayan alanlar için matematiksel olarak tutarlı kılar. Bununla birlikte değişen bir manyetik alanın bir elektrik alanı indüklediğini ve bunun tersini öngörmektedir. Bu nedenle Maxwell Denklemleri elektrik biliminde oldukça önemlidir.